Angulos

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Ângulo

 

 

Ângulo é a região de um plano concebida pela abertura de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo^[1]. A abertura do ângulo é uma propriedade invariante e é medida em radianos ou graus. Ângulo é um dos conceitos fundamentais da matemática, ocupando lugar de destaque na Geometria euclidiana, ao lado de ponto, reta, plano, triângulo, quadrilátero,polígono e perímetro^[2].

Elementos conceituais, componentes e aplicações do ângulo

O principal ramo da matemática que se relaciona com o conceito de ângulo é a trigonometria. Além das funções trigonométricas, as principais funções (ou operações) com ângulos são a soma, asubtração e a multiplicação por um número^[3].

Semirretas são os lados do ângulo. Origem ou vértice é o ponto onde as duas semirretas se encontram.Bissetriz é a semirreta com origem no vértice desse ângulo dividindo-o ao meio.

Ângulos consecutivos: dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo. Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm pontos internos comuns.

Também é muito notória a conceituação dos números pi e e, ambas usadas nas operações e funções com ângulos.

Já na matemática aplicada é muito comum o uso de ângulos. Exemplos de ramos do conhecimento em que isto ocorre são a cartografia, a geografia, a engenharia, a física, a química, a biologia, vários ramos da medicina, como a ortopedia, a odontologia, a astronomia, a aviação.

Embora o senso comum preveja apenas ângulos positivos, a matemática admite a existência de ângulos negativos, ou seja, ângulos têm sinal. Tal questão é importante mormente no tratamento devetores na forma polar, em alternativa à forma cartesiana.

Do mesmo modo, é definida na convenção matemática a noção de ângulos entre curvas, como sendo o ângulo entre as retas tangentes no ponto de interseção .

Unidades de medidas para ângulos

A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo^[4]. O SI utiliza o radiano como a unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial. Senos e co-senos cujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em base e.

A medida em graus de um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 360. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito °. 2π radianos é igual a 360° (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57° e um grau é π/180 radianos.

O gradiano, também chamado de grado, é uma medida angular na qual o arco é dividido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usada mais em triangulação.

O ponto é usado em navegação, e é definido como 1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°.

O círculo completo ou volta completa representa o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, π/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.

O ângulo nulo é um ângulo que tem 0°.

Medindo ângulos

O ângulo θ é o quociente de spor r.

Para medir um ângulo θ, um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado. O comprimento do arco s é então dividido pelo raio do círculo r, e multiplicado por uma variavel k, que depende da unidade de medida selecionada (graus ou radianos). Se a unidade for radianos, k = 1; se a unidade for graus, .

Cabe mencionar que valor de θ é independente do tamanho do círculo (a proporção s/r é mantida), pois se o raio do círculo aumenta, o comprimento do arco também aumenta na mesma proporção.

Classificações dos ângulos

Quanto à medida

Ângulo agudo.

Ângulo reto.

Ângulo obtuso.

Ângulo raso.

Ângulo giro ou ângulo completo.

Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como:

Nulo: um ângulo nulo mede 0°; agudo: ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°; reto: um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°; assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares; obtuso: é um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°; raso: ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semirretas opostas; côncavo ou reentrante: ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°; giro ou completo: ângulo que mede 360° (também pode ser chamado de Ângulo de uma volta).

O ângulo reto (90°) é um dos ângulos mais notórios e utilizados, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como, aproximadamente, no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc..

Um ângulo de 360 graus é aquele que completa o círculo. A volta completa coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°). Tal identificação se assemelha à do ângulo negativo com o ângulo positivo que tem como medida exatamente aquele (negativo) somado com a volta completa.

Ângulos Consecutivos: dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo; ângulos adjacentes: Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões determinadas não possuem pontos em comum; ângulos opostos pelo vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

Quanto a complementações

Ângulos complementares a e b (b é o complemento de a, e a é o complemento de b).

Os ângulos a e b são suplementares; a é agudo e b é obtuso.

Ângulos complementares: dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.

Ângulos suplementares: dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.

Ângulos replementares: dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.

Ângulos explementares: Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro.

Perspectiva Cavaleira

Perspectiva cavaleira

 

Introdução

A quase totalidade das ilustrações dos livros de geometria são feitas em perspectiva cavaleira. É significativo que a perspectiva cavaleira seja a representação utilizada universalmente para apresentar os outros tipos de representação. De resto, trata-se de uma tradição antiga: as figuras dos tratados de Geometria Descritiva e de Perspectiva Linear, de Roubaudy e de Pillet, publicados em 1916 e em 1888, respectivamente, eram traçadas em perspectiva cavaleira.
A origem do nome cavaleira é duvidosa, afirmando uns que provém do nome dado a um tipo de construção alta — o cavalier — que existia em certas fortificações militares do séc. XVI e de onde se tinha sobre a própria fortificação uma visão "do alto" -- que seria semelhante à dada pela perspectiva cavaleira. Outros dizem que o nome está relacionado com o ponto de vista alto de um cavaleiro, e ainda outros que deriva dos trabalhos do matemático italiano Cavalieri.
Nesta breve apresentação deste tipo de representação trataremos dos seguintes pontos:

• definição da perspectiva cavaleira
• parâmetros
• traçado em papel quadriculado
• propriedades
• bibliografia

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Definição

A perspectiva cavaleira é uma projecção cilíndrica oblíqua sobre um plano paralelo a uma das faces principais do objecto. A figura obtida por esta projecção não está conforme à visão, mas à inteligência que temos dos objectos representados, e daí a sua aceitação natural.
O desenho em perspectiva cavaleira é um auxiliar essencial na visualização e resolução de problemas de geometria no espaço, tendo em consequência uma grande importância no ensino da geometria, devendo ser aprendido e utilizado pelos alunos como meio principal de representação.
Na figura pode compreender-se como se forma a perspectiva cavaleira de um cubo, representado pelas suas vistas (frente e planta). C" eC', quadrados sombreados a cinzento, são a vista de frente e a planta do cubo.
O plano, de projecção, paralelo a duas faces do cubo, está também representado pelas suas vista de frente e planta. As setas d" e d' são as vistas do vector d que define a direcção da projecção oblíqua de que resulta a perspectiva cavaleira.
(voltar à Introdução)

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Parâmetros

Na perspectiva cavaleira, o que varia é a direcção da projecção, pois a posição do cubo em relação ao plano de projecção está fixa, dado que o plano de projecção é paralelo a uma das faces do cubo, e adopta-se ainda a convenção de colocar sempre a representação de algumas arestas do cubo (AB, etc.) paralelas ao bordo inferior do desenho. Daqui resulta que um segundo grupo de arestas (AE, etc.) fica paralelo aos bordos laterais da folha de desenho e o terceiro grupo de arestas (BC, etc.) é, no espaço, perpendicular ao plano de projecção. Os parâmetros que definem a perspectiva cavaleira são o ângulo , entre a direcção das arestas do terceiro grupo e a direcção das arestas paralelas ao bordo inferior da folha de desenho, e a redução k, em percentagem, que as arestas deste terceiro grupo, por exemplo FG, têm na representação. Naturalmente, a redução e o ângulo dependem da direcção da projecção. Costuma utilizar-se a notação PC(,k%) para designar uma perspectiva cavaleira com os parâmetros e k.
Na figura seguinte apresentamos três tipos usuais de perspectiva cavaleira.
Da esquerda para a direita, temos respectivamente as perspectivas PC(45°, 50%), PC(30°, 70%) e PC(30°,50%). A escolha entre estas diferentes perspectivas cavaleiras é sobretudo uma questão de gosto, embora se possam ainda acrescentar outro tipo de considerações:

• O caso A tem a desvantagem de as representações das arestas FG e AD ficarem no prolongamento uma da outra, e por vezes isso tornar os desenhos confusos quando se colocam cubos ao lado uns dos outros.
• No caso B a profundidade da representação do cubo parece. pelo menos a muitos de nós, exagerada.
• O caso C parece a muitos o mais equilibrado. É o que adoptaremos nas figuras neste curso.

Perspectiva

Perspectiva

Define-se a perspectiva como a projeção em uma superfície bidimensional de uma determinada cena tridimensional. Para ser representada na forma de um desenho(conjunto de linhas, formas e superfícies) devem ser aplicados mecanismos gráficos estudados pela Geometria projetiva, os quais permitem uma reprodução precisa ou analítica da realidade espacial.

A perspectiva manifesta-se especialmente na percepção visual do ser humano — o qual é tratado no artigo perspectiva (visão)— Tal fenômeno faz com que o indivíduo perceba, por exemplo, duas linhas paralelas, que dele se afastam, como retas concorrentes. Esta é apenas uma das formas que a perspectiva, enquanto manifestação gráfica, pode ocorrer (a retina humana faz o papel do "plano de projeção" onde a perspectiva é projetada: matematicamente existem outras formas, não percebidas pelo ser humano, de como os objetos tridimensionais podem ser representados.

Ainda que a perspectiva seja um dos principais campos de estudo da Geometria projetiva, seu estudo é bastante anterior a ela. Os povos gregos já possuíam alguma noção do fenômeno perspectivo, denominando-o como "escorço", sem contudo terem chegado a um processo geométrico satisfatório. Durante o período medieval, não só a técnica representativa da perspectiva se perdeu, mas também a visão de mundo dos indivíduos alterou-se, de forma que grande parte do conhecimento teórico a respeito do assunto se perdeu. Foi durante o período do Renascimentoque a perspectiva foi profundamente estudada e desenvolvida, abrindo o caminho para o seu estudo matemático através da Geometria projetiva, que posteriormente a sistematizou.

Projeção Ortogonal

Projeção ortogonal 

Em geometria, uma projecção ortogonal é uma representação num hiperplano de k dimensões de um objeto que tem n dimensões, considerando k < n.

Uma projecção é obtida intersectando rectas (ou planos), contendo cada ponto do objecto, perpendiculares (ortogonais) ao hiperplano de representação, com este. Estas rectas, chamadas projectantes ou raios visuais, funcionam como raios de sol para projectar os vértices do objecto sobre os planos de projecção.

Este tipo de projecção é bastante utilizado em cartografia e como técnica de análise em algumas disciplinas de geologia como a geologia estrutural.

Tipos de Material para Desenho

Materiais p/ desenho

Aqui estão sugeridos alguns dos melhores materiais para se trabalhar no desenho à grafite. Importante lembrar que não tenho objetivo de fazer “merchandising”, até porque se paga muito pouco atualmente por isso (srsr), mas sim  mostrar opções para quem desejar conhecer um bom material, o que é essencial para o desenho realista.

Lápis

Os lápis são fundamentais. Dependendo da técnica utilizada, eles farão muita diferença no resultado final, principalmente para quem não gosta de trabalhar com esfuminho (citado logo abaixo).

Quando comecei a desenhar, só trabalhava com os lápis Faber Castell,  que para mim eram os melhores (pelo menos era o melhor dos que eu conhecia). Sei que o Faber Castell é o xodó de muitos desenhistas, pois a maioria de nós aprendeu “empunhando” um destes. Mas, fiquem tranqüilos e não se aborreçam, concordo que este material é bom, mas vou dar ênfase em outros que considero superiores.

As marcas que mais se destacam são a Koh-i-Noor e Staedtler. As duas são muito boas, mas gosto mais da primeira. A grande diferença de um bom lápis para um comum está na sua consistência. Geralmente lápis comum, tem uma ponta mais rija, tornando mais difícil o sombreado.

Estojo da Koh-i-Noor

Os lápis são divididos em graduações:

dura                                              média                                                  macia
8H, 7H, 6H, 5H, 4H, 3H, 2H, H, HB, F, B, 2B, 3B, 4B, 5B, 6B, 7B, 8B, 9B

Por “H” entende-se “Hard” – uma mina dura. 
Por “B” entende-se “Brand” ou “Black” – uma mina macia ou preta.
Por “HB” entende-se “Hard/Brand”- uma mina de dureza média

A diferença entre eles está na graduação e rigidez. Analisando os tipos citados, são mais macios e tem uma graduação mais forte (mais escuro o risco) da esquerda para direita. Então, para cada sombra, existe um lápis proporcional à sua intensidade. É claro que você não precisa ter todos, mas uns 4 ou 5 tons seriam essenciais.

Escala de graduação dos lápis Staedtler

A grafite do lápis é composta por uma mistura de carvão e argila. O que determina a sua graduação e maciez é a proporção dessa mistura. Quanto mais carvão e menos argila, mais macio e negro fica a grafite, e quanto menos grafite e mais carvão, ela fica mais rija e clara.

Borracha

No desenho artístico, temos uma gama de borrachas bastante variada para diversos tipos de uso. A mais utilizada é a famosa “limpa-tipos”, borracha que foi criada para limpar erros de datilografia (em máquina de escrever).

Tipos de borracha para desenho

O nome limpa-tipos vem do termo tipos, que é o nome dado a letra da máquina de escrever. Está borracha é totalmente maleável, semelhante a uma massa de modelar. A sua textura extra suave permite absorver as partículas mais pequenas sem danificar o papel. Com isso, pode-se moldar a borracha na forma desejada, ajustando a necessidade do momento. A sua outra vantagem, é que ela é uma borracha que não borra, e sua finalidade básica é de retirar o excesso de grafite do desenho. Considero-a indispensável.

A borracha plástica também é muito importante, pois permite apagar traços mais fortes e principalmente na hora de dar forma ao cabelo (ela é a grande responsável pelos efeitos de brilho e “ondulação”). Por ser uma borracha dura, que permite um acabamento muito bom, nos cabelos como em várias outras partes que se necessite.

A caneta borracha é útil para apagar lugares com muitos detalhes, como os olhos, a boca, enfim, lugares que necessite de mais precisão. Mas, tenho usado a limpa-tipos e ela me tem sido de grande valia até o momento.

Existem outros tipos de borracha, mas as principais são estas. Acredito que seja o suficiente para se trabalhar. É claro que isso vai depender da característica de cada artista.

Papel

O papel mais utilizado pelos desenhistas é Papel Dessin – O tradicional “Papel Canson (papel com uma gramatura maior). Canson, na verdade, é a marca que produz o papel, mas pelo seu “monopólio”, o papel passou a ser conhecido por esse nome. Mas existem outros como: vegetal, sulfite, jornal, manteiga e isométrico. Vale a pena fazer testes para, assim, descobrir qual papel é mais apropriado ao seu estilo.

Esfuminho

Técnica de esfuminho

Como mostra a imagem, o esfuminho serve para espalhar uniformemente a grafite, dando um aspecto real ao desenho. Ele é feito de papel jornal compacto enrolado.

Para o esfuminho não existe marca melhor que a outra, pelo menos nunca vi diferença nos que já usei. Mas, anote aí. Para você que quer melhorar seus desenhos e ainda não usa essa ferramenta, vale a pena conferir.

Há pessoas que preferem fazer esse trabalho com o dedo. Com o dedo também dá para fazer, mas o problema é que com o dedo é mais fácil de borrar, principalmente se a pessoa transpira pelos dedos. A grafite se junta com o suor fazendo uma “tinta” que borrará seu desenho que dificilmente se conseguirá corrigir.

Técnica de esfuminho com o dedo

Iluminação

Não poderia deixar de falar da importância da iluminação do ambiente. Deve-se escolher um local bem iluminado ou, ainda, com uma luminária. Existem vários detalhes na imagem que só podem ser vistos com uma boa iluminação. E, além do mais, ela preserva sua saúde, pois o ambiente pouco iluminado fará com que force mais os olhos, o que pode lhe trazer problemas oftalmológicos pelo fato de se passar muitas horas no exercício do desenho.
Por último, deve-se ter muita paciência. Às vezes, queremos terminar um desenho logo e acabamos pecando no acabamento. O meu conselho é: está cansado, de saco cheio? Então, pare e relaxe um pouco. Tenho certeza que isso contribuirá para uma maior valorização da sua obra.